Sistem Persamaan Linear Eleminasi Gauss / Eleminasi Gauss Jordan

1. Sistem Persamaan Linier

Di dalam matematika, system persamaan linier adalah kumpulan persamaan-persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama.

2 2. Metode Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Ciri-ciri Eliminasi Gauss :

a. 1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)

b. 2. Baris nol terletak paling bawah

c. 3. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya

d Dibawah 1 utama harus nol

Berikut contoh matriks eselon baris yang memenuhi ketiga sifat di atas :

A=\left[{\begin{array}{ccccc}0&1&0&0&5\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&-2\end{array}}\right],~C=\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right]

Algoritma Metode Eliminasi Gauss

1. 1. Mengubah posisi letak baris.

2. 2. Mengalikan suatu baris dengan bilangan tidak 0 (nol).

3. 3. Menjumlahkan kelipatan suatu baris ke baris lain.

Contoh soal :

Tentukan nilai $a,b,c,d$ yang memenuhi sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode eleminasi Gauss.

$\begin{equation*} \begin{split} a + 2b + c + 2d &= 2\\ 2a - b + c + d &= 0\\ 3a + 2b - c + d &= 1\\ a + b + c - d &= 9. \end{split} \end{equation*}$

Penyelesaian :

Matriks perluasan dari SPL di atas adalah

$\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & | & 2\\ 2 & -1 & 1 & 1 & | & 0\\ 3 & 2 & 2 & -1 & | & 1\\ 1 & 1 & 1 & -1 & | & 9 \end{bmatrix}. \end{equation*}$

Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode eleminasi Gauss.

$\begin{equation*} \begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & | & 2\\ 2 & -1 & 1 & 1 & | & 0\\ 3 & 2 & 2 & -1 & | & 1\\ 1 & 1 & 1 & -1 & | & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{b_{2}-2b_{1}, b_{3}-3b_{1}, b_{4}-b_{1}} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & -5 & -1 & -3 & \mid & -4\\ 0 & -4 & -4 & -5 & \mid & -5\\ 0 & -1 & 0 & -3 & \mid & 7 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{2}\times (-1), b_{3}\times (-1), b_{4}\times (-1)} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 5 & 1 & 3 & \mid & 4\\ 0 & 4 & 4 & 5 & \mid & 5\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{2} \leftrightarrow b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7\\ 0 & 4 & 4 & 5 & \mid & 5\\ 0 & 5 & 1 & 3 & \mid & 4 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}-4b_{2}, b_{4}-5b_{2}}&\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7\\ 0 & 0 & 4 & -7 & \mid & 33\\ 0 & 0 & 1 & -12 & \mid & 39 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}\leftrightarrow b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7\\ 0 & 0 & 1 & -12 & \mid & 39\\ 0 & 0 & 4 & -7 & \mid & 33 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{4}\leftrightarrow 4b_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7\\ 0 & 0 & 1 & -12 & \mid & 39\\ 0 & 0 & 0 & -41 & \mid & 123 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{4}\times \displaystyle \frac {-1}{41}} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7\\ 0 & 0 & 1 & -12 & \mid & 39\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & -3 \end{bmatrix}\\ \end{split} \end{equation*}$